ધારો કે [.] એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. જો in | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{1}{e^{x-1}} = e^{1-x}$. આપણે સંકલન $I = \int_0^{e^3} [f(x)] dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.વિધેય $f(x) = e^{1-x}$ એ ઘટતું વિધેય છે.$

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{1}{e^{x-1}} = e^{1-x}$. આપણે સંકલન $I = \int_0^{e^3} [f(x)] dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.વિધેય $f(x) = e^{1-x}$ એ ઘટતું વિધેય છે.$x=0$ માટે,$f(0) = e^1 \approx 2.718$.$x=1$ માટે,$f(1) = e^0 = 1$.$x=1+\ln 2$ માટે,$f(1+\ln 2) = e^{1-(1+\ln 2)} = e^{-\ln 2} = \frac{1}{2} = 0.5$.જેમ કે $f(x)$ ઘટે છે,આપણે તે અંતરાલો શોધીએ છીએ જ્યાં $[f(x)]$ અચળ છે:$x \in [0, 1-\ln 2)$ માટે,$f(x) \in (2, e]$,તેથી $[f(x)] = 2$.$x \in [1-\ln 2, 1)$ માટે,$f(x) \in [1, 2)$,તેથી $[f(x)] = 1$.$x \in [1, e^3]$ માટે,$f(x) \in (0, 1]$,તેથી $[f(x)] = 0$.આમ,$I = \int_0^{1-\ln 2} 2 dx + \int_{1-\ln 2}^1 1 dx + \int_1^{e^3} 0 dx$.$I = 2(1-\ln 2 - 0) + 1(1 - (1-\ln 2)) + 0$.$I = 2 - 2\ln 2 + \ln 2 = 2 - \ln 2$.આપેલ છે કે $I = \alpha - \ln 2$,તેથી $\alpha - \ln 2 = 2 - \ln 2$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 2$.તેથી,$\alpha^3 = 2^3 = 8$.

ધારો કે $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. જો $\int_0^{e^3}\left[\frac{1}{e^{x-1}}\right] d x=\alpha-\log _e 2$ હોય,તો $\alpha^3$ ની કિંમત . . . . . . છે.

Similar Questions

જો $f(x) = \begin{cases} e^{\cos x} \sin x, & \text{માટે } |x| \leq 2 \\ 2, & \text{અન્યથા} \end{cases}$ હોય,તો $\int_{-2}^{3} f(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{1.5} [x^2] dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \begin{cases} \sqrt{1-x} & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ (7x-6)^{-1/3} & 1 < x \leqslant 2 \end{cases}$ હોય,તો $\int_{0}^{2} f(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-2}^3 |1-x^2| dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module